Question

动态规划算法程序例子

详细一点，阶段变量，状态变量，状态转移方程等都都有，程序详细一点。

Answer 1

给你导弹拦截的吧：
[问题描述]
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数，每个数据之间至少有一个空格），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

[输入输出样例]
INPUT：
389 207 155 300 299 170 158 65
OUTPUT：
6（最多能拦截的导弹数）
2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）

[问题分析]
我们先解决第一问。一套系统最多能拦多少导弹，跟它最后拦截的导弹高度有很大关系。假设a[i]表示拦截的最后一枚导弹是第i枚时，系统能拦得的最大导弹数。例如，样例中a[5]=3，表示：如果系统拦截的最后一枚导弹是299的话，最多可以拦截第1枚（389）、第4枚（300）、第5枚（299）三枚导弹。显然，a[1]~a[8]中的最大值就是第一问的答案。关键是怎样求得a[1]~a[8]。
假设现在已经求得a[1]~a[7]（注：在动态规划中，这样的假设往往是很必要的），那么怎样求a[8]呢？a[8]要求系统拦截的最后1枚导弹必须是65，也就意味着倒数第2枚被拦截的导弹高度必须不小于65，则符合要求的导弹有389、207、155、300、299、170、158。假如最后第二枚导弹是300，则a[8]=a[4]+1；假如倒数第2枚导弹是299，则a[8]=a[5]+1；类似地，a[8]还可能是a[1]+1、a[2]+1、……。当然，我们现在求得是以65结尾的最多导弹数目，因此a[8]要取所有可能值的最大值，即a[8]=max{a[1]+1,a[2]+1,……，a[7]+1}=max{a[i]}+1 (i=1..7)。
类似地，我们可以假设a[1]~a[6]为已知，来求得a[7]。同样，a[6]、a[5]、a[4]、a[3]、a[2]也是类似求法，而a[1]就是1，即如果系统拦截的最后1枚导弹是389，则只能拦截第1枚。
这样，求解过程可以用下列式子归纳：
a[1]=1
a[i]=max{a[j]}+1 （i>1，j=1,2,…,i-1，且j同时要满足：a[j]>=a[i]）
最后，只需把a[1]~a[8]中的最大值输出即可。这就是第一问的解法，这种解题方法就称为“动态规划”。

第二问比较有意思。由于它紧接着第一问，所以很容易受前面的影响，多次采用第一问的办法，然后得出总次数，其实这是不对的。要举反例并不难，比如长为7的高度序列“7 5 4 1 6 3 2”， 最长不上升序列为“7 5 4 3 2”，用多次求最长不上升序列的结果为3套系统；但其实只要2套，分别击落“7 5 4 1”与“6 3 2”。所以不能用“动态规划”做，那么，正确的做法又是什么呢？
我们的目标是用最少的系统击落所有导弹，至于系统之间怎么分配导弹数目则无关紧要，上面错误的想法正是承袭了“一套系统尽量多拦截导弹”的思维定势，忽视了最优解中各个系统拦截数较为平均的情况，本质上是一种贪心算法，但贪心的策略不对。如果从每套系统拦截的导弹方面来想行不通的话，我们就应该换一个思路，从拦截某个导弹所选的系统入手。
题目告诉我们，已有系统目前的瞄准高度必须不低于来犯导弹高度，所以，当已有的系统均无法拦截该导弹时，就不得不启用新系统。如果已有系统中有一个能拦截该导弹，我们是应该继续使用它，还是另起炉灶呢？事实是：无论用哪套系统，只要拦截了这枚导弹，那么系统的瞄准高度就等于导弹高度，这一点对旧的或新的系统都适用。而新系统能拦截的导弹高度最高，即新系统的性能优于任意一套已使用的系统。既然如此，我们当然应该选择已有的系统。如果已有系统中有多个可以拦截该导弹，究竟选哪一个呢？当前瞄准高度较高的系统的“潜力”较大，而瞄准高度较低的系统则不同，它能打下的导弹别的系统也能打下，它够不到的导弹却未必是别的系统所够不到的。所以，当有多个系统供选择时，要选瞄准高度最低的使用，当然瞄准高度同时也要大于等于来犯导弹高度。
解题时用一个数组sys记下当前已有系统的各个当前瞄准高度，该数组中实际元素的个数就是第二问的解答。

[参考程序]
program noip1999_2;
const max=1000;
var i,j,current,maxlong,minheight,select,tail,total:longint;
height,longest,sys:array [1..max] of longint;
line:string;
begin
write('Input test data:');
readln(line); {输入用字符串}
i:=1;
total:=0; {飞来的导弹数}
while i<=length(line) do {分解出若干个数，存储在height数组中}
begin
while (i<=length(line)) and (line[i]=' ') do i:=i+1; {过滤空格}
current:=0; {记录一个导弹的高度}
while (i<=length(line)) and (line[i]<>' ') do {将一个字符串变成数}
begin
current:=current*10+ord(line[i])-ord('0');
i:=i+1
end;
total:=total+1;
height[total]:=current {存储在height中}
end;
longest[1]:=1; {以下用动态规划求第一问}
for i:=2 to total do
begin
maxlong:=1;
for j:=1 to i-1 do
begin
if height[i]<=height[j]
then if longest[j]+1>maxlong
then maxlong:=longest[j]+1;
longest[i]:=maxlong {以第i个导弹为结束，能拦截的最多导弹数}
end;
end;
maxlong:=longest[1];
for i:=2 to total do
if longest[i]>maxlong then maxlong:=longest[i];
writeln(maxlong); {输出第一问的结果}
sys[1]:=height[1]; {以下求第二问}
tail:=1; {数组下标，最后也就是所需系统数}
for i:=2 to total do
begin
minheight:=maxint;
for j:=1 to tail do {找一套最适合的系统}
if sys[j]>height[i] then
if sys[j]<minheight then
begin minheight:=sys[j]; select:=j end;
if minheight=maxint {开一套新系统}
then begin tail:=tail+1; sys[tail]:=height[i] end
else sys[select]:=height[i]
end;
writeln(tail)
end.

[部分测试数据]
输入1：300 250 275 252 200 138 245
输出1：
5
2

输入2：181 205 471 782 1033 1058 1111
输出2：
1
7

输入3：465 978 486 476 324 575 384 278 214 657 218 445 123
输出3：
7
4

输入4：236 865 858 565 545 445 455 656 844 735 638 652 659 714 845
输出4：
6
7
够详细的吧

Answer 2

我这里写了一篇自己经历得动态规划，由简单道深刻理解，肯定会有所帮助

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