Question

初中裂项问题！求解

拜托了写下过程谢谢！

Answer 1

解：1/√x(√x+1)+1/(√x+1)(√x+2)+……+1/(√x+8)(√x+9)=1/4
∴有(1/√x-1/(√x+1))+(1/(√x+1)-1/(√x+2))+……+(1/(√x+8)-1/(√x+9))=1/4
∴1/√x-1/(√x+9)=1/4
解得x+9√x-36=0 即 (√x-3)(√x+12)=0
∴√x=3 x=9
因此方程的解为x=9.

Answer 2

1/√x(√x+1)=1/√x - 1/(√x +1)
这是一个很有趣的规律,总结下就可以了.

同理
1/√x(√x+1) + 1/(√x+1)(√x+2) +.......+1/(√x+8)(√x+9) =1/4
1/√x -1/(√x+1) + 1/(√x+1) -1/(√x+2)+......+1/(√x+8)-1/(√x+9) =1/4
1/√x-1/(√x+9) =1/4
√x+9-√x = 1/4 * (√x* (√x + 9))
36=x+9√x

(√x-3)(√x+12)=0
√x=3(负值舍弃)
x=9