Question

单位矩阵的n次方是什么？

Answer 1

n个单位矩阵相乘。

从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0的矩阵的n次方。

单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。

因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。

矩阵次方运算举例：

利用特征值与特征向量，把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，

其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，

A^n = PB^nP^-1 。

例如：

计算A^2，A^3 找规律， 用归纳法证明

若r(A)=1， 则A=αβ^专T， A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)

用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP