Question

连续函数的导数一定连续吗？

Answer 1

不一定连续。

连续函数的导数不连续的例子：

f(x)= x²sin(1/x) (x≠0)

0 (x=0)

f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)=lim(x→0)[xsin(1/x)]=0

∴f'(x)= 2xsin(1/x) -cos(1/x) (x≠0)

=0 (x=0)

f'(x)在x=0处不连续

连续函数的法则：

定理一、在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二、连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三、连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

Answer 2

不一定

（1）连续函数的导数连续的例子很多，例如

f（x）=x，f'（x）=1，显然f'（x）在（-∞，+∞）内连续

（2）连续函数的导数不连续的例子：

f（x）=x²sin（1/x）（x≠0）

0（x=0）

f'（0）=lim（x→0）［f（x）-f（0）］/（x-0）=lim（x→0）［xsin（1/x）］=0

∴f'（x）=2xsin（1/x）-cos（1/x）（x≠0）

=0（x=0）

f'（x）在x=0处不连续

法则

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

以上内容参考：百度百科-连续函数