Question

已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,根号3],其中θ∈(-Π/2,π/2)

(1)当θ=-Π/6时，求函数f(x)的最大值与最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f(x)在区间 [-1，根号3]上是单调函数

Answer 1

(1)当θ=-Π/6时，tanθ=- √3/3, f(x)=x²- (2√3/3)x-1,二次函数对称轴为x=√3/3，在定义域[-1,√3]中心的右边，所以最大值为f(-1)=1+2√3/3-1=2√3/3,
最小值为f(√3/3)=-1,

(2)f(x)=x²+2xtanθ-1对称轴为x=-tanθ,要在[-1,√3]上单调，那么对称轴必须在区间之外，
-tanθ≥√3 或 -tanθ≤-1,
所以tanθ ≤ -√3或tanθ ≥ 1，
可知前者为-Π/2<θ≤-Π/3 ,后者为Π/4≤θ<Π/2,
所以θ∈(-π/2,-π/3]∪[π/4,π/2)

Answer 2

（1）f(x)=x^2+2x*(-√3/3)-1=x^2-2√3/3x-1
对称轴为直线x=√3/3
所以最小值为f(√3/3)=-4/3
最大值为f(-1)=2√3/3
（2）求导，f'(x)=2x+2tanθ
f(x)在区间 [-1，根号3]上是单调函数，则有f'(x)在 [-1，根号3]恒定大于等于0或恒定小于等于0
若f(x)在区间 [-1，根号3]上单调减，则f'(x)≤0
f'(√3)=2√3+2tanθ≤0故tanθ≤-√3即θ∈(-π/2，-π/3]
若f(x)在区间 [-1，根号3]上单调增，则f'(x)≥0
f'(-1)=-2+2tanθ≥0所以tanθ≥1即θ∈[π/4,π/2)
综上所述，θ∈(-π/2，-π/3]∪[π/4,π/2)

Answer 3

（1)，θ＝－π/6 时 tanθ＝－√3/3 ，f(x)=x²-2√3/3x-1,
函数顶点为（√3/3, －4/3）
f(-1)=1+2√3/3-1=2√3/3
f(√3)=3-2√3/3*√3-1=0
∴函数的最小值为－4/3,最大值为2√3/3
(2) 函数顶点横坐标为 －tanθ，
要满足在区间 [-1，根号3]上是单调函数，须,,－tanθ＞√3, 或－tanθ＜－1
由 －tanθ＞√3 得tanθ<－√3 ∴－π/2＜θ＜－π/3
由－tanθ＜－1 得 tanθ>1 ∴ π/4＜θ＜π/2
∴ θ的范围是
∴（－π/2，－π/3）∪（ π/4，π/2）