Question

向量组α1,α2,α3，…，αm是一个n维列向量组，如果每一个n维列向量β可以由该向量组线性表示？

向量组α1,α2,α3，…，αm是一个n维列向量组，如果每一个n维列向量β可以由该向量组线性表示，且表示方式是唯一的，证明：m＝n，且α1,α2,α3，…，αm线性无关。如何证明？请写出详细步骤，谢谢!

Answer 1

假设向量组相关，那么存在不全为0的系数k1………km，使得k1α1+……kmαm=0。
那么如果表示β的系数为g1……gm，显然g1+k1，………，gm+km也是其表示系数。显然与表示唯一冲突
而如果m>n，那么（α1，α2，…………，αm）x=0必有非零解，显然向量组相关，也矛盾。