Question

求如图的不定积分

Answer 1

x^2+3x-4=(x+3/2)^2-25/4,
设x=(5/2)secu-3/2,则u=arccos(5/(2x+3)),dx=(5/2)sinudu/cos^u,
原式=∫[(5/2)sinudu/cos^u]/{[(5/2)secu-3/2](5/2)tanu}
=∫2du/(5-3cosu),①
设u=2arctanv,则v=tan(u/2),cosu=(1-v^2)/(1+v^2),du=2dv/(1+v^2),
①=∫2dv/(1+4v^2)
=arctan(2v)+c
=arctan[2tan(u/2)]+c
=arctan{2√[(1-cosu)/(1+cosu)]}+c
=arctan{2√[(x-1)/(x+4)]}+c.

Answer 2

分享一种解法【考虑"x>0"的情形；"x<0"的情形同理求解】。
原式=∫dx/{x²√[(1+3/x-4/x²)]}。而，1+3/x-4/x²=(5/4)²-(3/4-2/x)²。
∴原式=∫dx/{x²√[(1+3/x-4/x²)]}=(1/2)∫d[3/4-2/x]/√[(5/4)²-(3/4-2/x)²]。令3/4-2/x=(5/4)sinθ。
∴原式=θ/2+C=(1/2)arcsin[3/5-8/(5x)]+C。