Question

设函数f(x)和g(x)定义在(负无穷，正无穷)上，且具有以下性质：

1、f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)
2、f(x)和g(x)在x=0处可导，切f(0)=0、g(0)=1、f'(0)=1、g'(0)=0
证：f(x)在（-无穷，+无穷）上可导，且f'(x)=g(x)
如何证明f'(x)=g(x) 证明可导我会

Answer 1

f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)两边对x求导数,f'(x+y)=f'(x)g(y)+f(y)g'(x),,再令x=0即得f'(y)=g(y)

Answer 2

证明：因为f(x)<=g(x) 所以f[g(x)]<=g[g(x)] (1) 又因为f(x)是增函数。所以f[f(x)]<f[g(x)] (2) 由(1)、(2)可得：f[f(x)