Question

已知扇形周长为20，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

Answer 1

∵θ=L/R =(20-2R)/R=20/R-2

∴S=θR²/2=-(R-5)²+25
当R=5时，扇形面积最大，S=25
此时圆心角θ=(20-10)/5=2

Answer 2

设扇形的半径为R，中心角为a，则有2R+aR=20，R=20|（2+a），S=1|2aR2，将R代入，化简后有S=200a|（4+4a+a2)，分子分母同时除以a，分母再用均值定理，当且仅当a=2时，面积最大为25，注意a为弧度制

Answer 3

设圆心角是x,半径是r
扇形周长=xr+2r=20
x=(20-2r)/r
扇形面积=xr^2/2=(20-2r)*r^2/2r=10r-r^2=-（r^2-10r+25）+25=-(r-5)²+25
∴当r=5时，扇形面积最大，S=25
此时圆心角=(20-10)/5=2

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Answer 4

设：扇形圆心角为w弧度，扇形半径为x，则扇形弧长为wx，则：
2x＋wx=20，得：wx=20－2x
S=(1/2)(wx)x=(1/2)wx²=(1/2)(20－2x)x=x(10－x)=－x²＋10x=－(x－5)²＋25
则当x=5时，S去的最大值是25，此时半径为5，扇形圆心角为w=2弧度

Answer 5

设中心角为α，半径为r
则弧长为αr
2r+αr=20
S=αr^2/2
=(20/r-2)*r^2/2
=10r-r^2
=-(r-5)^2+25
∴当r=5时，有最大面积25
此时α=20/r-2=2