Question

如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°

如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2倍根号3，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO-ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．
（1）求OC、BC的长；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．
要详解！！！

Answer 1

1)因为在直角三角形OAB中，∠AOB=60°
所以∠ABO=30
所以OA=OB/2=√3,由勾股定理得AB=3，
同理在直角三角形OAC中，AC=OC/2，
因为∠COB=∠CBO=30
所以OC=BC
所以AC=AB/3=1,
所以OC=2，
2)过Q作QN⊥AB,垂足为N,
依题意，得CP=2-t，CQ=t，
在直角三角形CQN中，QN=(√3/2)t
所以△CPQ面积=(1/2)*CP*CN=(1/2)*(2-t)*（√3/2)t=(-√3/4)t^2+(√3/2)t
3) 分三种情况讨论
当OP=OM时，
因为∠AOP=30°
所以∠OPM=∠OMP=75°
所以∠OQP=180-60-75=45°
过P作PK⊥OQ,垂足为Q,
在直角三角形OPK中，∠OPK=30°,OP=4-t，
所以KO=PO/2=(4-t)/2，PK=(√3/2)(4-t)
在直角三角形PQK中，∠PQO=∠QPK=45
所以PK=QK=(√3/2)(4-t)
所以由QK+KO=QO,得，
(√3/2)(4-t)+（4-t）/2=t-2
解得t=(2/3)(√3-3)
当OP=MP时，∠OMP=∠MOP=30°
所以∠OPQ=180-∠OMP-∠MOP=120°
在△OPQ中，∠OQP=180-∠OPQ-∠QOP=0
显然不能构成三角形，所以这种情况不存在
当OM=MP时，∠MOP=∠OPM=30°
所以∠OMP=180-∠QOP-∠QPO=90
所以OP=OM
即4-t=2(t-2)
解得t=8/3
所以符合条件的有两种

Answer 2

解
（1）OB=2倍根号3，Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，所以OA=根号3，AB=3
，∠AOB的平分线OC交AB于C，所以∠AOC=30°，OA=根号3，所以OC=2，AC=1
，又因为∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．
所以CN=AC=1，AB=3，所以BC=2
（2）BP=CQ=t，当P在AB边上时
过Q做PC边上的高为根号3乘t除以2，故
S=（2-t）*根号3乘以t/4
当P到OC边上时
S=（4-t)(t-2)√3/4

Answer 3

（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，
∴∠B=30°，
∴OA=12OB=3，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO2+AC2=CO2，
∴(
3)2+（3-OC）2=OC2，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，
则CP=2-t，CQ=t，
过P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=12CP=12（2-t），HP=32（2-t），
∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×32（2-t），
即S=-34t2+32t；
②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，
∴S=0
③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，
过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=3，
CP=t-2，OQ=T-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=12OP=12（4-t），PG=32（4-t），
∴S△CPQ=S△COQ-S△OPQ=12×（t-2）×3-12×（t-2）×32（4-t），
即S=34t2-33．
④当t=4时，P在O点，Q在ON上，如图（3）
过C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=12BC=1，
有勾股定理得：BM=3，
∵OB=23，
∴OM=23-3=3=CK，
∴S=12PQ×CK=12×2×3=3；
综合上述：S与t的函数关系式是：S=-
34t2+
32t(0＜t≤2)34t2-3
3(2＜t≤4)；
．

（3）解：如图（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM时，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=83，
②PM=OP时，
此时∠MPO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此时不存在；
③OM=OP时，
过P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=12（4-t），PG=32（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=32（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴12（4-t）+32（4-t）=t-2，
解得：t=6+2
33
综合上述：当t为83或6+2
33时，△OPM是等腰三角形．

Answer 4

（1）OA=OB/2=√3，AB=OBsin60°=3.
∠B=∠AOB/2=∠COB=30°，
∴OC=BC=OA/cos30°=2，
（2）0<=t<=2时如图（1），
S=(1/2)CP*CQ*sin120°=t(2-t)√3/4；
2<=t<=4时如图（2），
S=(1/2)OP*OQ*sin60°=（4-t)(t-2)√3/4.
（3）△OPM为等腰三角形，分3种情况：
i)OP为底边，∠OPM=∠POM=30°，∠OQP=90°，
OP=2OQ=2CP,
4-t=2(t-2),8=3t,t=8/3;
ii)PM为底边，∠OPQ=75°，∠PQO=45°，
由正弦定理，OQ/sin75°=OP/sin45°，……
剩下的留给您练习