Question

若关于x的不等式ax²-lx+1l+2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为

Answer 1

当a>0，△≤0时，二次函数f(x)=ax²-lx+1l+2ar的图象抛物线的开口向上，且与x轴有一个或没有交点，ax²-lx+1l+2a<0的解集为空集
①当x－1≥0，即x≥1时， ax²-︱x+1︱+2a<0化简得：ax²－x－1+2a<0
即，b²－4ac≤0，代入得：
1－4a(2a－1) ≤0
－8a^2+4a+1≤0
其中，△=b²-4ac=16+32>0
抛物线f(x)=－8a^2+4a+1，开口向下，且与x轴有两个交点。
解得：（1－√3）/4≥a，或a≥（1＋√3）/4
∵a>0
∴不等式ax²－x－1+2a<0，a的解集为： a＞（1＋√3）/4
②当︱x－1︱＜0时， ax²-︱x+1︱+2a<0化简得：ax²+x+1+2a<0
即，b²－4ac=1－4a(2a+1) ≤0
－8a^2－4a+1≤0
△=b²-4ac
=16+32>0
抛物线－8a^2－4a+1=0，开口向下，且与x轴有两个交点。
a的解集为：a ≤（－1－√3）/4，或a≥（－1＋√3）/4
∵a>0
∴不等式ax²+x+1+2a<0，a的解集为： a≥（－1＋√3）/4
所以当，a＞（1＋√3）/4时，ax²-lx+1l+2a<0的解集为空集