Question

(1+2x^2)*(x-1/x）^8 的展开式中常数项为？（最好有过程）

Answer 1

昨天我以为是整个的平方...sorry
(1+2x^2)*(x-1/x)^8
=(1+2x^2)[(x^2-1)/x]^8
=(1+2x^2)[(x^2-1)^8]/(x^8)
分子出来x的8次方：
如果(1+2x^2)提供常数项，那么[(x^2-1)^8]需要提供x的8次方。
8个(x^2-1)需要有4个括号选x^2,4个括号选-1,系数为：
C(8,4)=8*7*6*5/24=70
如果(1+2x^2)提供2x^2，那么[(x^2-1)^8]需要提供x的6次方。
8个(x^2-1)需要有3个括号选x^2,5个括号选-1,系数为：
2×C(8,3)*(-1)^5
=-2*8*7*6/6
=-112
所以最后常数项为：(-112+70)x^8 / x^8=-42

Answer 2

想了一下简便方法是没有的,只能是把右边的展开(x^2+1/x^2-2)^4然后这样展下去,有的项是可以直接去掉不考虑的,最后结果好象是-42.你自己再算以下(等式最后出现k*1/x^2的项和常数项) .
(1+2x^2)*(x-1/x)^8
=(1+2x^2)[(x^2-1)/x]^8
=(1+2x^2)[(x^2-1)^8]/(x^8)
分子出来x的8次方：
如果(1+2x^2)提供常数项，那么[(x^2-1)^8]需要提供x的8次方。
8个(x^2-1)需要有4个括号选x^2,4个括号选-1,系数为：
C(8,4)=8*7*6*5/24=70
如果(1+2x^2)提供2x^2，那么[(x^2-1)^8]需要提供x的6次方。
8个(x^2-1)需要有3个括号选x^2,5个括号选-1,系数为：
2×C(8,3)*(-1)^5
=-2*8*7*6/6
=-112
所以最后常数项为：(-112+70)x^8 / x^8=-42

Answer 3

1 (x-1/x）^8 展开式中常数项为：
C(8,4)*x^4*(-1/x)^4=C(8,4)=70
2 (x-1/x）^8 展开式中x^(-2)项为：
C(8,5)*x^3*(-1/x)^5=-C(8,5)*x^(-2)=-56x^(-2)
所以(1+2x^2)*(x-1/x）^8 的展开式中常数项为：1*70+2*(-56)=-42