Question

请教高等数学高手，帮忙解答一个二重积分，积分区域为一个椭圆，椭圆为标准方程

Answer 1

因为积分区域关于x y轴都对称
所以∫∫2y^2dxdy/(x^2+y^2)^2=∫∫(x^2+y^2)dxdy/(x^2+y^2)^2=∫∫dxdy/(x^2+y^2)
设x=acost y=bsint 且积分区域对称 所以在0到 π/2积分即可 最后结果乘以4
带入得
∫∫(-absintcostdt)/(a^2cost^2+b^2sint^2)最后就是积分出来了

追问

为什么不用广义极坐标来计算这个二重积分呢，椭圆在广义极坐标下的方程和参数方程只差一个r，这个r在0到1之间

追答

我试过 虽然积r时很简单 求出是lnrdt 但r的范围很复杂之后积角t时 太复杂了

追问

是的，用广义极坐标计算是有很大问题，r的积分是一个对数，但是r是可以等于0的，但是对数的真数是不可以等于零的。但是按照你说的办法去计算，二重积分只有一个积分变量怎么计算呢，可以加你QQ讨论吗，我的QQ1499515916

Answer 2

I = ﹣2π 不可能吧？

追问

书本上式这样写的，我的书本是
《微积分教程》（第二版）（下）韩云瑞 扈志明 张广远编著 ，清华大学出版社（2007）
本题答案在388页，习题答案13.3 中的2（2）

追答

我没有这本书。这个是曲线积分化为二重积分？ 具体题目是？。