Question

已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0)，求证：（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）>e^(2n-3)

已知函数f(x)=(1+ln(x+1))/x,(x>0)，求证：（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）>e^(2n-3)

Answer 1

解：（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）>e^(2n-3)
不等式两边同时取以e为底的对数得
ln(（1+1·2）（1+2·3）（1+3·4）···（1+n(n+1)）)＞2n-3
即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))＞2n-3
可以利用数学归纳法证明
①当n=1时 左边=ln3＞0 右边=-1
显然成立
②当n=2时 左边=ln3+ln7=ln21 右边=1 显然不等式成立
③假设n=k-1时成立 k≥3
即ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+(k-1)k)＞2k-5
那么n=k时
ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))
=ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k-1))+ln(1+k(k+1))
＞2k-5+ln(1+k(k+1))
∵当k≥3时 ln(1+k(k+1))＞2
∴ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+k(k+1))
＞2k-5+2=2k-3
也满足不等式
综上所述ln(1+1·2)+ln(1+2·3)+……+ln(1+n(n+1))＞2n-3成立 n≥1
这道题我不太清楚为什么给个函数 可能没发现其用处
希望我的证法能给你启发。。。。。。

Answer 2

自己算。。。。。