Question

自学到有理函数的积分，但看不懂有些步骤怎么分的？

自学到有理函数的积分，但看不懂有些步骤怎么分的？

(x^2+1) / x(x-1)^2=A/x+B/(x-1)+C/(x-1)^2
为什么多了个B/(x-1)？不是只有x和(x-1)^2吗？

(x^2+2x-1)/( x-1)(x^2-x+1)=A/(x-1) + (Cx+D)/（x^2-x+1）
A和 Cx+D是怎么定的？

Answer 1

你仔细看看有理积分前面的定理，如果分母中有某项的指数是高于一次的，例如说/(x-3)^5,那么部分分式中一定出现以下：
A/(x-3)+B/(x-3)^2+C/(x-3)^3+D/(x-3)^4+E/(x-3)^5

分子是A还是Cx+D，就看分母的次数了，保证分子的多项式比分母的多项式次数少1就行。

求解过程如下：
一般确定未知数都是用解方程的方法。不过一般都可以先简单的去掉一些，非不得已的时候，才会把右边通分，跟左边对比系数解方程组。
比如说你这题：
(x^2+2x-1)/( x-1)(x^2-x+1)=A/(x-1) + (Cx+D)/（x^2-x+1）
=A(x^2-x+1)+(Cx+D)(x-1)/ （x-1)(x^2-x+1)
所以x^2+2x-1=A(x^2-x+1)+(Cx+D)(x-1)
令x=1，就能去掉(Cx+D)(x-1)，直接解出A，然后将A带回，
再令x=0，去掉C，解出D。然后再对比就行了

Answer 2

1:这是规定,如果无此项,无法进行运算
2:将其化为与原函数相同的形式,对比相应的项即可得出ABCD的值

Answer 3

第一问:

(x^2+1) / x(x-1)^2
=A/x+(px+q)/(x-1)^2
因为A,p,q都是常数,也就是说(px+q)/(x-1)^2分子上有一次项,无法积分
所以(px+q)/(x-1)^2这一项要用待定系数法化成=B/(x-1)+C/(x-1)^2的形式
(px+q)/(x-1)^2
=B/(x-1)+C/(x-1)^2
=B(x-1)/(x-1)^2+C/(x-1)^2
=[Bx+(C-B)]/(x-1)^2
B=p,C-B=q
B=p,C=p+q

第二问:
右边通分,对照系数即可~