Question

使函数f（x）=sin（2x+a）+根号3 cos（2x+a）是奇函数，且在[0,4分之π]上是减函数的a的一个值是？？

使函数f（x）=sin（2x+a）+根号3 cos（2x+a）是奇函数，且在[0,4分之π]上是减函数的a的一个值是？？

知道上有解答如下：
f=sin(2x+A)+根号3*cos(2x+A)
=2( 1/2 sin(2x+A)+ 根号3/2 cos(2x+A) )
=2( cos(π/3)sin(2x+A) +sin(π/3)cos(2x+A) )
=2 sin(2x+A+π/3)
f周期为π，奇函数，那么[-π/4,π/4]都是减函数，长度为半个周期。
所以 f(-π/4)=2 f(π/4)=-2
-π/2+A+π/3= π/2
π/2+A+π/2 = 3π/2
A=2π/3
这是其中一个值，实际要加上周期A= 2π/3+kπ
k为整数

但是我不明白“f周期为π，奇函数，那么[-π/4,π/4]都是减函数，长度为半个周期。”
这个结论是怎么得出的，我知道函数化简后A+π/3 = N * π 之后就不明白了。

而且这个题目可以用和差化积吗？ 好像我用和差化积也解不出来呢

sin(2x+a+60) = -sin(-2x-a-60)
变为 sin(2x+a+60) + sin(-2x-a-60) =0 然后用和差化积，但是没法解。

这样的一道题目算是中档题么？求详细的解答 有加分

Answer 1

我来谈点看法：

使函数f（x）=sin（2x+a）+根号3 cos（2x+a）是奇函数，且在[0,4分之π]上是减函数的a的一个值是？？ 

f=sin(2x+A)+ √3cos(2x+A)=2(1/2sin(2x+A)+√3/2cos(2x+A) )=2( cos(π/3)sin(2x+A)+sin(π/3)cos(2x+A) )=2sin(2x+A+π/3) 

∵f(x)= 2sin(2x+A+π/3)

∴T=2π/ω=2π/2=π==>T/2=π/2

∵f(x)为奇函数，∴关于原点中心对称，又在[0,4分之π]上是减函数

∴F(x)周期为π，奇函数，那么[-π/4,π/4]都是减函数，长度为半个周期。

即函数图像应该在x=-π/4达到最大值，在x=π/4达到最小值

如下图所示： 

 

∵f(x)= 2sin(2x+A+π/3)，要想将f(x)= 2sin(2x+A+π/3)变成奇函数f(x)=2sin(2x)，就必须使A+π/3=0

∴A=-π/3

但此时，函数f(x)在[-π/4,π/4]上是增函数，要变成减函数，必须再加π/2，

即将函数f(x)= 2sin(2x-π/3+π/3)左移π/2得到f(x)= 2sin(2x+-π/3+π/2+π/3)

即A=π/2-π/3=2π/3，此时图像如上图所示 

 

另外一点函数解析式中A+π/3表示函数的起始相位，其大小应限制在一个周期内，即0< A+π/3< π 

Answer 2

解答：请你看看我解法你的a我换θ
分析：利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+θ+π/3 ），
由于它是奇函数，故θ+π/ 3 =kπ，k∈z，当k为奇数时，f（x）=-2sin2x，
满足在[0，π /4 ]上是减函数，此时，θ=2nπ-2π /3 ，n∈z，当k为偶数时，经检验不满足条件．

∵函数f(x)=sin(2x+θ)+ √3 cos(2x+θ)=2sin（2x+θ+π /3 ） 是奇函数，
故θ+π /3 =kπ，k∈z，θ=kπ-π/ 3 ．
当k为奇数时，令k=2n-1，f（x）=-2sin2x，满足在[0，π /4 ]上是减函数，
此时，θ=2nπ-4π /3 ，n∈z，
当k为偶数时，令k=2n，f（x）=2sin2x，不满足在[0，π /4 ]上是减函数．

点评，这里就运用到sinX 函数的周期性，即sin﹙x+2π﹚=sinx，然后我们画图像来确定单调
至于你的疑问，你可以这样想sinx这个函数是奇函数，而cosx是偶函数，如果把sin﹙x+π/2﹚那就等于cosx了，所以为了让他继续是奇函数，那么x后面加的必须是π/2 的偶数倍才能保持是奇函数。
而和差化积建议不要这样做！

Answer 3

易化简为f(x)=2sin(x a π/3)
其周期为2π
f(x)=2sin(x a π/3)的图像是由f(x)=sinx的图像向左平移a π/3个单位得到的
∵f(x)为奇函数
∴a π/3=kπ k为整数
又∵f(x)在区间上递减
∴f(x)需平移π的奇数倍个单位
即a π/3=(2k 1)π k为整数
化简为a=2kπ 2π/3 k为整数

属于中偏低档题 来自高三学生

Answer 4

这道只能算是一道基础题。
f周期为π，奇函数，那么[-π/4,π/4]都是减函数，长度为半个周期。
要理解这个结论你必须知道这样一个事实：奇函数在y轴左右两侧的单调性是一样的。
长度为半个周期这个应该不难理解吧，因为区间的长度刚好是周期的一半嘛。