Question

已知数列{an}与{bn}满足关系:a1=2,a(n+1)=(an^2+1)/2an,bn=(an+1)/(an-1).(n∈N*).

(1)求证：数列{lg bn}是等比数列;
(2)求证：(an-1)/[a(n+1)-1]=3^[2^(n-1)]+1;
(3)设Sn是数列{an}的前n项和，当n≥2时，求证：Sn<n+4/3.

Answer 1

解: (1) 由bn=(an+1)/(an-1) （1）
得 b(n+1)=[a(n+1)+1]/[a(n+1)-1] （2）
再将a(n+1)=(an^2+1)/2an 代入（2）
化简得 b(n+1)=(an+1)^2/(an-1)^2
故 b(n+1)=bn^2 再对两边取对数 得lgb(n+1)=2lgbn
故数列{lg bn}是首项为lgb1=lg3 公比为2 的等比数列
(2) 由(1)的结论得 bn=3^[2^(n-1)]
(an-1)/[a(n+1)-1]=(an-1)/[(an^2+1)/2an-1]=2+2/(an-1)
而bn=(an+1)/(an-1) =1+2/(an-1)
故：(an-1)/[a(n+1)-1]=bn+1=3^[2^(n-1)]+1
(3) 由bn=(an+1)/(an-1) 得an=(bn+1)/(bn-1)=1+2/(bn-1)
则Sn=a1+a2+……+an=n+Tn(其中Tn是2/(bn-1)的n项和）
故要证Sn<n+4/3 即要证 Tn<4/3 这一步要用到放缩法
并且一定要放得很合适才行，大或小一点都不行，因此
这一问比较难，暂时我还没想到恰当的放缩，就先留给
你自己做下吧！（这种不等式的证明往往就是高考的压轴题）