Question

△ABC是边长为1的等边三角形,BD=CD,∠BDC=120度,E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=60度,求△AEF的周长

要过程！！！！！！！！！！

Answer 1

答案：2

过程：由已经条件得到，∠ABD=∠ACD=90°，连接AD，不难得到∠BAD=∠CAD=30°，那么BD=CD=1/根号下3，即BD²=CD²=1/3。
DE²=BE²+1/3 ① ；DF²=CF²+1/3 ② ；
又因为EF²=AE²+AF²-2AE·AF·cos∠A=AE²+AF²-AE·AF=(1-BE)²+(1-CF)²-(1-BE)(1-CF) ③
同时EF²=DE²+DF²-2DE·DF·cos∠EDF=DE²+DF²-DE·DF=BE²+CF²+2/3-DE·DF ④
∴③右边=④右边，即，整理得到DE·DF的表达式，DE·DF=BE·CF+(BE+CF)-1/3 ⑤
将⑤两边平方，同时，将①、②代入平方后的⑤，即为(BE²+1/3)(CF²+1/3)=[BE·CF+(BE+CF)-1/3]² ⑥
将⑥整理得到，(BE+CF)²+3BE·CF(BE+CF)-(BE+CF)=0 ⑦
∵BE+CF恒大于0, ∴将⑦两边同时除以表达式(BE+CF)，得到最终关系式为：
BE+CF+3BE·CF-1=0
∴代入③中，得到EF²=BE²+CF²+[1-(BE+CF)]-BE·CF=BE²+CF²+3BE·CF-BE·CF=(BE+CF)²
∴EF=BE+CF
∴C△AEF=AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=1+1=2
解答完毕，中间整理等式比较麻烦，需要有些耐心，你自己多练习练习，加油！

Answer 2

解：将△CDF绕点C旋转，使CD与BD重合，将旋转后的点F设为G
∵等边△ABC
∴∠ABC＝∠ACB＝60
∵BD＝CD，∠BDC＝120
∴∠DBC＝∠DCB＝（180-∠BDC）/2＝30
∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝90, ∠ACD＝∠ACB+∠DCB＝90
∵△CDF绕点C旋转至△BDG
∴DG＝DF，BG＝CF，∠DBG＝∠ACD，∠BDG＝∠CDF
∴∠DBG+∠ABD＝∠ACD+∠ABD＝180
∴E、B、G在同一直线上
∵∠EDF＝60
∴∠BDE+∠CDF＝∠BDC-∠EDF＝60
∠EDG＝∠BDE+∠BDG＝∠BDE+∠CDF＝60
∴∠EDG＝∠EDF
∵DE＝DE
∴△EDG≌△EDF （SAS）
∴EF＝EG
∴EG＝BE+BG＝BE+CF
∴EF＝BE+CF
∴L△AEF＝AE+EF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝2

Answer 3

∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD=CD
∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABD=∠ACD=∠ABC+∠DBC=90°
将Rt△BDE逆时针旋转使BD与CD重合，得到Rt△CDE′
∴DE=DE′ ∠BDE=∠CDE′ BE=CE′
∵∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=120°-60°=60°
∴∠FDE′=∠CDF+∠CDE′=∠CDF+∠BDE=60°
∴∠EDF=∠FDE′
在△EDF和△FDE′中
∠EDF=∠FDE′
DF=DF
DE=DE′
∴△EDF≌△FDE′
∴EF=FE′
∴△AEF的周长
=AE+EF+AF
=AE+FE′+AF
=AE+FC+CE′+AF
=AE+BE+FC+AF
=AB+AC
=1+1
=2

Answer 4

△AEF的周长=AB+AC=2