Question

已知a、b、c满足a²+b²+c²=1，a（1/b+1/c）+b（1/a+1/c）+c（1/a+1/b）=-3，求a+b+c的值

Answer 1

由a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3
可得:(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=0
∵a,b,c不能为零,∴abc≠0.
故得:(a+b+c)*(bc+ca+ab)=0
∴a+b+c=0,或bc+ca+ab=0
又a^2+b^2+c^2=1.
如果bc+ca+ab=0，则
(a+b+c)^2=1-2(bc+ca+ab)=1.
∴a+b+c=±1.
∴a+b+c=0,1,-1.

Answer 2

∵ a(1/b+1/c)+b(1/a+1/c)+c(1/a+1/b)=-3
∴ a(1/b+1/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=-3+3=0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
∵ a≠0,b≠0,c≠0
∴ abc≠0
∴ (a+b+c)(ab+bc+ac)=0
即(a+b+c)=0或(ab+bc+ac)=0
当(ab+bc+ac)=0时
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1
所以a+b+c=±1
综上得到 a+b+c的值有三个：-1,0,1