Question

一道关于函数的高中数学题

设f（x）是定义在R上的函数，对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且当x＞0时，0＜f（x）＜1。
1：求证：x∈R时恒有f（x）＞0。
2：若f（x）·f（2x-x^2)＞1,求x的范围。
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Answer 1

证明：
（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（2）
（2）
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，
∴f（x）·f（2x-x²)=f(x+2x-x²)>1
∴由（1）中的结论可得到：
x+2x-x²>0
即x²-3x＜0
∴ x（x-3）＜0
∴ 0<x<3

Answer 2

1、令m=n，则f(2m)= f²(m/2)》0
所以f(x)= f²(x/2)在实数上非负。
令n=0，m>0，
则f(m+0)= f(m) f(0)，由此可得到f(0)=1
令m=-n>0，-m<0,
则f(0)= f(m+n)= f(m)f(-m)=1，且在m>0时，<0f(m)<1
则f(-m)>1
所以x属于R时恒有f（x）>0。
2、令n为一无限小的正实数，则m+n略大于m
则f(m+n)/ f(m)= f(m) f(n)/f(m)=f(n)
上式取值范围为（0，1），所以f(m+n)< f(m)
所以f(x)在R上是减函数
3、由第一步骤可知f(x)在R上当x<0时有f(x)恒大于1，
则由题设可之f(x)*f(2x-x²）= f(x+2x-x²) >1
则x+2x-x²<0，可得：x>3，或x<0
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Answer 3

解：（1）令n=0 则有f(m+0)=f(m)*f(0) 故f(0)=1
再令m=x,n=-x 则f(x)*f(-x)=f(0)=1
当x>0 时，则-x<0 此时1>f(-x)>0 故f(x)=1/f(-x)>1>0
综上所述，对于x∈R时恒有f（x）＞0
（2）因为 f（x）·f（2x-x^2)=f(x+2x-x^2)>1
所以由（1）中的结论可知 x+2x-x^2>0
解得 0<x<3

Answer 4

解：1、
∵对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，
∴ f（x）=f（x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f²（x/2）≥0
f（x）=f（x+0）=f（x）f（0)恒成立，有f（0）=1＞0
f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x） （1）
而当x＞0时，0＜f（x）＜1，因此由（1）可得出结论：f（-x）＞0
∴x∈R时恒有f（x）＞0
2、∵当x＞0时，0＜f（x）＜1
∴·f（2x-x^2)＞1 应该有：2x-x²＜0→x＜0或x＞2.，
即f（2x-x^2)＞1,时x的范围为（-无穷大，0）∪（2，+无穷大）

Answer 5

1.∵f(m+n)=f(m)·f(n)，取m=0，n=1，则：
f(1+0)=f(1)·f(0)
当x＞0时，0＜f（x）＜1
∴f(0)=1
同样的，取m=x，n=-x，其中x<0，则：
f(-x)·f(x)=f(0)=1
0<f(-x)<1
∴x<0时，f(x)>1>0；

综合当x＞0时，0＜f（x）＜1。
x∈R时恒有f（x）＞0。

2.若f（x）·f（2x-x^2)＞1，参照第一问结论：函数f(x)，x<0时，f(x)>1，比对形式f(m+n)=f(m)·f(n)，知道：
x+(2x-x^2)<0

解一元二次不等式得：0<x<3。

Answer 6

（1）依题意得f（x）在x大于零时恒大于零，当x等于零时，f（x）＝(f（x）)∧2 所以f（0）＝ 1 ，则两相反数的函数值乘积为1，即互为倒数，所以x在负数范围上大于一，综合得x∈R时恒有f（x）＞0

（2)f（x）·f（2x-x^2)=f(3x-x^2)＞1,而又因f（0）=1,所以相反数对应的函数值互为倒数，所以负数的函数值大于一，所以就是3x-x^2<0,所以x范围是负无穷到零的开区间并上三到正无穷的开区间

Answer 7

（1）设m=0,n=1/2; 则有：f(1/2)=f(1/2)·f(0); 所以f(0)=1;
又f(x-x)=f(0)=f(x)×f(-x)=1; 所以f(x)=1/f(-x);
则x<0时，-x>0;f(x)=1/f(-x)>0;
所以总有：x∈R时，f（x）＞0
（2）对任意的x1,x2x∈R时,若x1<x2, 即x2-x1>0;恒有f（x2）=f(x1+x2-x1)=f(x1)+f(x2-x1)
即f((x2)-f(x1)=f(x2-x1)＞0; 亦即：f(x1）<f(x2)
所以f(x)是R上的增函数；
所以：f(x)·f(2x-x²)>1即f(3x-x²)>f(0)
3x-x²>0; x²-3x<0; 0<x<3即所求的x的取值范围