求此对称区间定积分公式的证明过程

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茹翊神谕者

2021-03-10 · TA获得超过2.5万个赞
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简单证明一下即可,答案如图所示

太行人家我

2021-03-10 · 书山有路勤为径,学海无涯苦作舟。
太行人家我
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右=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx=∫(0,a)f(x)dx+∫(0,a)f(-x)dx
对∫(0,a)f(-x)dx进行积分变换,令-x=t,则x=-t,dx=-dt,当x=0时,t=0;当x=a时,t=-a。于是∫(0,a)f(-x)dx=∫(0,-a)f(t)(-dt)=∫(-a,0)f(t)dt=∫(-a,0)f(x)dx,∴右=∫(0,a)f(x)dx+∫(-a,0)f(x)dx=∫(-a,a)f(x)d(x)=左,证毕
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sjh5551
高粉答主

2021-03-10 · 醉心答题,欢迎关注
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I = ∫<下-a, 上a>f(x)dx = ∫<下-a, 上0>f(x)dx + ∫<下0, 上a>f(x)dx, 前者 令 u = -x
I = ∫<下a, 上0>f(-u)(-du) + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>f(-u)du + ∫<下0, 上a>f(x)dx , 定积分与积分变量无关, 将 u 改写为 x
= ∫<下0, 上a>f(-x)dx + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>[f(x)+f(-x)]dx
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