Question

高数 极限x趋于0 ((1+x)^(1/x))/sinx？

为什么答案给的是((1+x)^(1/x))* (x-(1+x)ln(1+x))/((x^2)*(1+x))





Answer 1

这一步是使用了洛必达法则，分子两项求导如下图，而分母求导后是cosx，极限直接写为1：

Answer 2

x->0
(1+x)^(1/x)
=e^[ln(1+x)/x]
=e^[ (x-(1/2)x^2+o(x^2) ) /x]
=e^[ 1- (1/2)x +o(x) ]
(1+2x)^(1/(2x))
=e^[ln(1+2x)/(2x)]
=e^[(2x)-(1/2)(2x)^2+o(x^2))/(2x)]
=e^[ 1- x +o(x)]
(1+x)^(1/x) -(1+2x)^(1/(2x))
=e^[ 1- (1/2)x +o(x) ] -e^[ 1- x +o(x)]
=e. { e^[-(1/2)x +o(x) ] - e^[- x +o(x)] }
=e .[ 1-(1/2)x -( 1-x) +o(x) ]
=e. [(1/2)x +o(x) ]
lim(x->0) [ (1+x)^(1/x) -(1+2x)^(1/(2x)) ] /sinx
=lim(x->0) e. [(1/2)x] /x
=(1/2)e

Answer 3

x→0lim[(1+x)^(1/x)]/sinx=∞;