Question

如何通俗易懂地解释卷积?

Answer 1

简单定义：设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。

容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

应用领域

1、 在数字图像处理中，卷积滤波在边缘检测和相关过程的许多重要算法中起着重要作用。

2、 在光学领域，离焦照片是清晰图像与镜头功能的卷积。摄影的术语是背景虚化。

3、 在分析化学中，Savitzky-Golay平滑滤镜用于分析光谱数据。它们可以在使频谱失真最小的情况下提高信噪比

4、 在统计中，加权移动平均值是一个卷积。

5、 在声学中，混响是原始声音与来自声源周围物体的回声的卷积。

6、 在数字信号处理中，使用卷积将真实房间的冲激响应映射到数字音频信号上。

7、 在电子音乐中，卷积是在声音上施加频谱或节奏结构。通常，这种包络或结构取自另一种声音。两个信号的卷积就是一个到另一个的滤波。

8、 在电气工程中，一个函数（输入信号）与第二个函数（脉冲响应）的卷积给出了线性时不变系统（LTI）的输出。在任何给定时刻，输出都是输入函数的所有先前值的累加效果，而最新值通常具有最大的影响力（表示为乘数）。脉冲响应函数根据每个输入值出现后所经过的时间来提供该因数。

9、 在物理学中，凡是存在具有“叠加原理”的线性系统的地方，都会出现卷积运算。例如，在光谱学中，由于多普勒效应本身而引起的线展宽给出了高斯谱线形状，而仅碰撞展宽给出了洛伦兹谱线形状。当两种效果都起作用时，线形是高斯函数和洛伦兹函数的卷积，即Voigt函数。

以上内容参考 百度百科-卷积