Question

已知x=-1-根号2，求x五次方+4x四次方+6x三次方+6x二次方+2x+3

Answer 1

x五次方+4x四次方+6x三次方+6x二次方+2x+3
=x^5+2x^4-x^3+2(x^4+2x^3-x^2)+3(x^3+2x^2-x)+2(x^2+2x-1)+x+5
=x^3(x^2+2x-1)+2x^2(x^2+2x-1)+3x(x^2+2x-1)+2(x^2+2x-1)+x+5

∵x^2+2x-1=[x-(-1-√2)][x-(-1+√2)]
∴x=-1-√2是x^2+2x-1=0的根
x=-1-√2时,x^2+2x-1=0
∴原式=-1-√2+5=4-√2

Answer 2

∵x＝－1－√2，∴x＋1＝－√2，∴x^2＋2x＋1＝2，∴x^2＝1－2x，
∴x^5＝x^3－2x^4、x^4＝x^2－2x^3、x^3＝x－2x^2。
于是：
x^5＋4x^4＋6x^3＋6x^2＋2x＋3
＝（x^3－2x^4）＋4x^4＋6x^3＋6x^2＋2x＋3＝2x^4＋7x^3＋6x^2＋2x＋3
＝2（x^2－2x^3）＋7x^3＋6x^2＋2x＋3＝3x^3＋8x^2＋2x＋3＝3（x－2x^2）＋8x^2＋2x＋3
＝2x^2＋5x＋3＝2（1－2x）＋5x＋3＝x＋5＝（－1－√2）＋5＝4－√2。

Answer 3

5根号2