Question

设连续函数f(x)满足f(x)=sinx+1-∫[-1到1]f(x)dx,求f(x)

Answer 1

∫<-1,1>f(x)dx为定积分，是一个常数，设其为A，则原式为：f(x)=sinx+1-A
对上式两边定积分得到：∫<-1,1>f(x)dx=∫<-1,1>(sinx+1-A)dx
==> A=∫<-1,1>sinxdx+∫<-1,1>(1-A)dx
==> A=0+(1-A)x|<-1,1>
==> A=2(1-A)=2-2A
==> A=2/3
所以，f(x)=sinx+(1/3)

Answer 2

方法如下，
请作参考：

Answer 3

∫[-1到1]f(x)dx 是一个常数，可以用 C 表示。
这样，
f(x)=sinx+1- C
f(x)=sinx+1-∫[-1到1]（sinx+1- C）dx
= sinx+1- 2（C - 1）
比较：sinx+1- C = sinx+1- 2（C - 1）
得到 C = 2
所以，f(x)=sinx - 1

Answer 4

分享一种解法。设∫(-1,1)f(x)=c。对原式两边从-1到1对x积分，∴c=∫(-1,1)(sinx+1-c)dx=2(1-c)。
∴c=2/3。∴f(x)=sinx+1/3。

Answer 5

f(x)=sinx+1-∫(-1->1) f(x)dx
let
C=∫(-1->1) f(x)dx
f(x)=sinx+1 -C
f(x)=sinx+1-∫(-1->1) f(x)dx
=sinx+1-∫(-1->1) (sinx +1 -C) dx
=sinx+1-[cosx +x -Cx]|(-1->1)
=sinx +1 + [ (cos1 +1 -C) -(cos1 -1 +C) ]
= sinx +1 +2 -2C
=>
-C =+2 -2C
C=2
ie
f(x)=sinx+1 -2 = sinx -1