Question

2011湖北理科数学高考第20题第2小题的详细答案

平面内与两定点A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆，椭圆或双曲线。
题目就这样子，第一小题问曲线C的方程，以及C的形状与m的关系 主要是第2小题，问当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的m在（-1,0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1，F2是C2的两个焦点，求在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=▏m ▏a² ，如果存在，求tan∠F1NF2的值，如果不存在，请说明理由
题目大概就这样子，思路给一下，详细点，谢谢！！

Answer 1

能把题目写一下吗？帮你看看
分析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），求出直线A₁、MA₂M的斜率，并且求出它们的积，即可求出点M轨迹方程，根据圆、椭圆、双曲线的标准方程的形式，对m进行讨论，确定曲线的形状；（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C1方程为x²+y²=a²，当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（-a √﹙1+m﹚，0），F2（a√﹙ 1+m﹚ ，0），假设在C1上存在点N（xο，yο）（yο≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a²，的充要条件为 ① xο²+yο²=a²
②﹙1/2﹚ 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a² ，求出点N的坐标，利用数量积和三角形面积公式可以求得tanF1NF2的值．
解答：解：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得kMA₁•kMA₂=y/ ﹙x-a ﹚•y/﹙ x+a ﹚=m，
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0），A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²．
当m＜-1时，曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为x² ／a² +﹙y ／-ma² ﹚ =1，C是焦点在x轴上的双曲线；
（Ⅱ）由（I）知，当m=-1时，C1方程为x²+y²=a²，
当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（-a√﹙1+m﹚ ，0），
F2（a √﹙1+m﹚，0），
对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（xο，yο）（yο≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a²，
的充要条件为 xο+yο=a²① （1/ 2）* 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a² ②
由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=|m|a√﹙ 1+m﹚ ，
当0＜|m|a / √﹙ 1+m﹚≤a，即﹙1- √5﹚/ 2 ≤m＜0，或0＜m≤﹙1+ √5﹚/ 2 时，
存在点N，使S=|m|a²，
当|m|a / √﹙ 1+m﹚ ＞a，即-1＜m＜﹙1- √5﹚/ 2，或m＞﹙1﹢√5﹚/ 2 时，不存在满足条件的点N．
当m∈[﹙1- √5﹚/ 2 ，0）∪（0，﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时，由 NF1 =（-a √﹙ 1+m﹚ -x0，-y0）， NF2 =（a√﹙ 1+m﹚ -x0，-y0），
可得 NF1 • NF2 =xο²-（1+m）a²+yο²=-ma²．
令| NF1 |=r1，| NF2 |=r2，∠F1NF2=θ，
则由 NF1 • NF2 =r1r2cosθ=-ma²，可得r1r2=-ma² cosθ ，
从而s=½ r₁r₂sinθ=-ma²sinθ/ 2cosθ =-½ma²tanθ，于是由S=|m|a²，
可得-½ ma²tanθ=|m|a²，即tanθ=-2|m|/ m ，
综上可得：当m∈[﹙1-√5﹚/ 2 ，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a²，且tanθ=2；
当m∈（0，﹙1﹢√5﹚/ 2 ]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a²，且tanθ=-2；
当(-1，﹙1-√5﹚/ 2 )∪(﹙1﹢√5﹚/ 2 ，+∞)时，不存在满足条件的点N．