ln(1-x)的泰勒级数展开是什么?

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小赵生活百科
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      ln(1-x)的泰勒级数展开是:ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x。
      泰勒展开
      f(x)= f(0)+ f′(0)x+ f′′(0)x 2/ 2!+...+ fn(0)...
      f(x)= ln(x+1)
      f(0)=ln1=0
      f′(0)=1/(x+1)=1
      f′′(0)=-(x+1)^(-2)=-1
      f3(0)=-(-2)(x+1)^(-3)=2
      f4(0)=2*(-3)(x+1)^(-4)=-6
      fn(0)=(-1)^(n+1)*(n-1)!
      ln(x+1)=0+x+(-1)x 2/ 2!+.2*x 3/ 3!+...+ (-1)^(n+1)*(n-1)!*x n/ n!
      =x-x 2/ 2+x 3/ 3-.+(-1)^(n+1)x n/ n
      因为ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1) x^n / n ,-1< x ≤ 1,所以ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ,-1≤ x。
      扩展资料:带Peano余项的Taylor公式(Maclaurin公式):可以反复利用L'Hospital法则来推导:
      f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
      泰勒中值定理:若函数f(x)在含有x的开区间(a,b)有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。
      f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+......+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1),这里ξ在x和x0之间,该余项称为拉格朗日型的余项。
哈美顿(上海)实验器材有限公司
2024-11-20 广告
f(0)=0,一阶导是2x/(1+x&#178;),把0一代,是0,二阶导是[2(1+x&#178;)-4x&#178;]/(1+x&#178;)&#178;=2(1-x&#178;)/(1+x&#178;)&#178;,把x=0代入得2.... 点击进入详情页
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