Question

已知f(1/x)=x/(1-x2)求f(x)解析式，在使用换元法时，设t=1/x为什么到最后f(t)=t/t2-1，而f(x)=x/x2-1？...

已知f(1/x)=x/(1-x2)求f(x)解析式，在使用换元法时，设t=1/x为什么到最后f(t)=t/t2-1，而f(x)=x/x2-1？另外用配凑法时f(x)与f(1/x)如何转化的，为什么f(x)=－f(1/x)谢谢了，初学很迷惑

Answer 1

你的难点可能在于对于换元法的理解。我们首先要搞清楚什么是换元法，换元法的本质是将函数的自变量用另一个量替代，从而得到更本质的函数关系。比如本题中知道了f(1/x）的表达式，要求f(x）的表达式时，先设t=1/x，即将f(1/x）中的1/x用变量t替代，由t=1/x，显然可得x=1/t，所以在化简f(1/x)=x/(1-x2)时，1/x用t替代，等式右边x用1/t替代，这样就有f(t)=1/t/(1-1/t2)=t/t2-1；

第二个问题，为什么f(t)=t/t2-1，而f(x)=x/x2-1？这里其实就是对于函数的理解了，函数里面的自变量只是一个代表，是可以用任何字母表示的，这两个式子是完全等价的，你写成f(a)=a/a2-1也是完全等价的。其实你完全可以说函数的解析式是f(t)=t/t2-1,只不过习惯上我们都用x来代表自变量，所以写成了f(x)=x/x2-1.

第三个问题其实你把所得到的解析式对比一下就知道了。你看f(x)=x/x2-1.而f(1/x)=x/(1-x2)，这两个函数不是正好互为相反数吗？所以就有f(x)=-f(1/x)了。

函数的问题刚开始学的时候比较困难。需要慢慢理解。后面入门了就好多了。希望能帮到你。

Answer 2

t=1/x x=1/t 所以f(t)=f(1/x)=(1/t)/(1-1/t2) 上下同乘t2 得f(t)=t/t2-1. x代入得f(x)=x/x2-1。这两个式子其实是一样的道理。只不过元不一样 所以才叫换元法。

Answer 3

f(1/x)=x/(1-x2)=1/（1/x-x)
则
f(x)=1/(x-1/x)=x/(x^2-1)
∴f(x)=－f(1/x)