Question

在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点P为BC边上的一点,且PE垂直AB于点E,PF垂直CD于点F,BG垂直CD于点G,求证...

在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点P为BC边上的一点,且PE垂直AB于点E,PF垂直CD于点F,BG垂直CD于点G,求证:PE+PF=BG.

Answer 1

过P作CD的平行线交BG于Q、交AB于H
∵ ∠BQP=∠PEB=90°, ∠BPQ=∠PBQ
∴ △BPQ≌△PBE, 有：BQ=PE，
又BG平行于PF，有GQ=PF，
所以 PE+PF=BQ+GQ=BG

Answer 2

作PH⊥BG垂足为H，则PHGF为矩形，HG=PF。
∵∠HPB=∠C=∠EBP、∠BHP=∠PEB=90º、BP为共同边，∴⊿BHP≌⊿PEB，BH=PE。
则：PE+PF=BH+HG=BG。

Answer 3

过B做BH垂直PE交EP的延长线于点H
∵PE⊥CD，BG⊥CD，∴ PE//BG
∵BH⊥PE,CD⊥PE，∴BH//CD且∠BHE=90°。
∵PE//BG，∴BHEG是矩形，HP+PE=BG
∵ BH//CD,∴∠PBH=∠C，
∵等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∴∠FBP=∠C
∵∠PBH=∠C，∴∠FBP=∠PBH
∵PF⊥AB，PH⊥BH ∴ PF=HP
∵ HP+PE=BG ∴ PE+PF=BG
这样就可以证明了