Question

已知关于x方程x^2-(k+1)x+四分之一k^2+1=0的两根是一个矩形两边的长 当矩形对角线为根五时求k的值

Answer 1

解：设两根分别为x1, x2，根据韦达定理，有：
x1+x2=k+1
x1x2=(1/4)k²+1
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
=(k+1)²-2[(1/4)k²+1]
=k²+2k+1-(1/2)k²-2
=(1/2)k²+2k-1
根据题意，有：x1²+x2²=√5²=5，可得方程：
(1/2)k²+2k-1=5
(1/2)k²+2k-6=0
k²+4k-12=0
(k+6)(k-2)=0
k+6=0 或 k-2=0
k=-6 或 k=2
方程有两实数根，则△≥0
△=[-(k+1)]²-4×1×[(1/4)k²+1]
=k²+2k+1-k²-4
=2k-3
2k-3≥0
k≥3/2
所以k=-6不和题意，应该舍去
k=2

Answer 2

设关于x方程x²-(k+1)x+¼k²+1=0的两实数根是x1,x2
有∶x1＋x2＝k＋1, x1·x2＝¼k²＋1
∵﹙x1＋x2﹚²＝x1²＋2x1·x2＋x2²＝k²＋2k＋1 ①
又∶x1·x2＝¼k²＋1
∴﹣2x1·x2＝﹣2﹙¼k²＋1﹚＝﹣½k²－2 ②
由①＋②，得∶ x1²＋x2²＝½k²＋2k－1
∵方程的两根是一个矩形两边的长
∴矩形对角线长平方＝矩形两边长平方的和
∴x1²＋x2²＝﹙√5﹚² 即½k²＋2k－1＝﹙√5﹚²＝5
整理，得k²＋4k－12＝0
∴﹙k＋6﹚﹙k－2﹚＝0
∴k＋6＝0 ，k－2＝0
∴k1＝﹣6 ,k2＝2
又∵Δ＝[﹣﹙k+1)]²－4×1×﹙¼k²+1﹚
＝k²＋2k＋1－k²－4
＝2k－3＞0
∴k＞3／2
∴k＝2