Question

线性代数;方阵A满足A^2+2A-3E=0,问当m满足什么条件时,(A+mE)可逆

Answer 1

A+mE可逆的充分必要条件是A+mE没有零特征值.

已知条件A^2+2A-3E=0，说明A可能的特征值只能是-3和1. 因此A+mE的可能特征值为m-3和m+1，进而当m不等于3且不等于-1时，A+mE可逆。

Answer 2

解: 因为A^2+2A-3E=0
所以 A(A+mE)+(2-m)(A+mE)-3E-(2-m)mE=0
所以 (A+(2-m)E)(A+mE)=(-m^2+2m+3)E.
所以当 m^2-2m-3≠0 时, (A+mE)可逆.
由 m^2-2m-3=(m-3)(m+1)
知 m≠3 且 m≠-1 时, (A+mE)可逆. -- 且可给出A+mE的逆矩阵.

attleefy 用简单的方法得出了结论,
隐隐觉得哪不妥, 但说不清楚
这个解答供参考.

Answer 3

A^2+2A-3E=0可看成A^2+2A-3E^2=0，即（A+3E）*（A-E)=0。
(A+mE)可逆，则|A+mE|不能为0，所以m不能为3或-1。