Question

若x1,x2是关于x的方程x^2-(2k+1)x+k^2+1=0的两个实数根，且两根都大于1，若x1/x2=1/2,求k的值

Answer 1

解：
令y=f(x)=x²-(2k+1)x+k²+1
y=f(x)=[x-(2k+1)/2]²+k²+1-(2k+1)²/4=[x-(2k+1)/2]²+(3-4k)/4
方程有两均大于1的实根，
（2k+1)/2>1 (3-4k)/4≤0 f(1)>0
(2k+1)/2>1
(2k-1)/2>0
k>1/2
(3-4k)/4≤0
3-4k≤0
k≥3/4
f(1)>0
-(2k+1)+k²+1>0，整理，得
k(k-2)>0
k>2或k<0
综上，得k>2

Answer 2

x1+x2=2k+1
x1x2=k^2+1
2x1=x2
所以
3x1=2k+1
2x1²=k^2+1
x1,x2都大于1
2k+1>2k>1/2
△=4k^2+4k+1-4k^2-4>0 k>3/4

(4k^2+4k+1)/9=(k^2+1)/2
8k^2+8k+2=9k^2+9
k^2-8k+7=0
k=7