Question

1除以根号n的级数是收敛还是发散？

Answer 1

1除以根号n的级数是发散。

详细证明：

令f(x)=1/x^(1/2)

f(x)在[1,+∞)上单调递减，且非负

对于无穷积分∫(1,+∞) f(x)dx=∫(1,+∞) 1/x^(1/2)dx=x^(1/2) | (1,+∞)=lim (x→+∞) x^(1/2)-1=+∞

即发散

那么，∑(n=1,N) f(n)≥∫(1,N) f(x)+f(N)≥∫(1,N) f(x)dx→+∞

即部分和无界

因此级数发散

收敛函数和发散函数：

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

Answer 2

这明显是p级数，而且p=1/2<1因此该级数发散
详细证明：
令，f(x)=1/x^(1/2)
明显，f(x)在[1，+∞)上单调递减，且非负
对于无穷积分∫(1,+∞) f(x)dx=∫(1,+∞) 1/x^(1/2)dx=x^(1/2) | (1,+∞)=lim (x→+∞) x^(1/2)-1=+∞
即发散
那么，∑(n=1，N) f(n)≥∫(1,N) f(x)+f(N)≥∫(1,N) f(x)dx→+∞
即部分和无界
因此，级数发散
有不懂欢迎追问

Answer 3

lim(n→∞)(1/√n)/(1/n)
=lim(n→∞)√n
=∞
≠0；
因级数∑(n=1→∞)(1/n)是发散的，所以级数∑(n=1→∞)(1/√n)也是发散的。

Answer 4

Answer 5

收敛的吧
根号n是分母 趋近于正无穷
所以整体趋近于0
收敛