Question

设集合M={(x,y)|(x-1)^2+y^2=1,x,y∈R}，N={(x,y)|x+y+c＞0，x,y∈R}，若M∩N=M，求c的取值范围

最好有详细的解题过程，谢谢

Answer 1

由M∩N=M，知M是N的子集

集合M={(x,y)|(x-1)^2+y^2=1,x,y∈R}

M表示以构成（1,0）为圆心，半径为1的圆环的点的集合。

由点到直线的距离，求出C1=-c

假设x+y+c=0

圆心（1,0）到直线的距离求出C1

1=|1+0+c|/(1^2+1^2)^(1/2)

2^(1/2)=|1+c|

c=2^(1/2)-1或c=-2^(1/2)-1(舍去)

直线与y轴的交点C1=-c=1-2^(1/2)

只要直线与y轴的焦点小于C1，圆就恒在直线的右上方，恒满足M∩N=M

所以，只要c<=1-2^(1/2)

Answer 2

由 M={(x,y)|(x-1)^2+y^2=1,x,y∈R}，知M是圆心在（1，0）半径为1的圆上的点的集合。
由N={(x,y)|x+y+c＞0，x,y∈R}，知N是位于直线上面区域的点的集合。
由若M∩N=M，知M是N的子集。
所以直线与圆相切或在圆的下面。
设直线与圆相切，有：
(x-1)^2+y^2=1
x+y+c＝0
解得c=-1-根号2 或 c=-1+根号2，依题意取c=-1-根号2 。
所以c的取值范围是(负无穷大,-1-根号2]。