Question

已知数列{An}的前n和为Sn，且An=Sn*S(n-1),A1=2/9. （n大于等于2,Sn不等于0 ） 求证：为{1/Sn}等...

已知数列{An}的前n和为Sn，且An=Sn*S(n-1),A1=2/9. （n大于等于2,Sn不等于0 ） 求证：为{1/Sn}等差数列

Answer 1

Sn-Sn-1=SnS(n-1)(n>=2)
1/S(n-1)-1/Sn=1
1/Sn-1/S(n-1)=-1
n>=2
{1/Sn}是以1/S1=1/a1=9/2为首项，d=-1为公差的等差数列

Answer 2

an=Sn*S(n-1）

Sn-S(n-1)=Sn*S(n-1）

1/Sn-1/S(n-1)=-1

所以{1/Sn}是以1/S1=9/2为首相,公差d=-1的等差数列

1/Sn=9/2-1(n-1)=-n+11/2

Sn=2/(11-2n)

即an=Sn-S(n-1)=2/(11-2n)-2/[11-2(n-1)]=4/(11-2n)(13-2n)=4/(2n-11)(2n-13)

Answer 3

当n≥2时，有：An=Sn－S(n－1)，则：
Sn－S(n－1)=[Sn]×[S(n－1)] 【两边同除以SnS(n－1)】
1/[S(n－1)]－1/[Sn]=1
即：
1/[S(n)]－1/[S(n－1)]=－1=常数，则数列{1/Sn}是以1/S1=1/A1=9/2为首项、以d=－1为公差的等差数列。