Question

在三角形ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN平行BC.设MN交角BCA的平分线于点E,...

在三角形ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN平行BC.设MN交角BCA的平分线于点E,交角BCA的外角平分线于点F,连接AE.AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？（证明）

Answer 1

当O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，

理由，

因为CE平分∠BCA

所以∠BCE=∠ACE,

因为MN∥BC

所以∠BCE=∠CEO

所以∠CEO=∠ACE

所以EO=OC

同理OC=OF

所以EO=FO,

当AO=CO时，

四边形AECF是平行四边形

又CE平分∠BCA

所以∠ECA=∠BCA/2

同理∠ACF=外角的一半

所以∠ECA+∠ACF=平角的一半=90，

所以∠ECF=90,

所以四边形AECF是矩形

Answer 2

当O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
理由，
因为CE平分∠BCA
所以∠BCE=∠ACE,
因为MN∥BC
所以∠BCE=∠CEO
所以∠CEO=∠ACE
所以EO=OC
同理OC=OF
所以EO=FO,
当AO=CO时，
四边形AECF是平行四边形
又CE平分∠BCA
所以∠ECA=∠BCA/2
同理∠ACF=外角的一半
所以∠ECA ∠ACF=平角的一半=90，
所以∠ECF=90,
所以四边形AECF是矩形