Question

已知定点A(-1,0),B(1,0)和圆(X-3)^2+(Y-4)^2=4上的动点P,求是|PA|^2+|PB|^2最小时点P的坐标

已知定点A(-1,0),B(1,0)和圆(X-3)^2+(Y-4)^2=4上的动点P,求是|PA|^2+|PB|^2最小时点P的坐标

求详细过程
没有稍微简便点的方法了灭TOT...数形结合什么呢

Answer 1

（1）设圆(X-3)²+(Y-4)²=4圆心为O，∠AOP=α,∠BOP=β，∠AOB=α+β，α+β为定值，由余弦定理得：AB²=AO²+BO²-2AO*BOcos(α+β)，PA²=AO²+R²-2AO*Rcosα，PB²=BO²+R²-2BO*Rcosβ，PA²+PB²=AO²+BO²+2R²-2AO*Rcosα-2BO*Rcosβ，AO=4√2，BO=2√5， cos(α+β)=3√10/10，sin(α+β)=√10/10，cosβ=[cos(α+β)-α]=3√10cosα/10+√10sinα/10，PA²+PB²=32+20+8-4(4√2cosα+2√5cosβ)=60-8[2√2cosα+3√2cosα/2+√2sinα/2]=60-4√2(7cosα+sinα)，设sinθ=7√2/10，cosθ=√2/10，则PA²+PB²=60-40sin(θ+α)，当sin(θ+α)=1时，PA²+PB²=60-40=20为最小值，7√2cosα/10+√2sinα/10=1，解得：sinα=√2/10，cosα=7√2/10， cosβ=11√5/25，PA²=68/5，PB²=32/5，设点P(x,y)，(x+1)²+y²=68/5，(x-1)²+y²=32/5，前式减后式得：4x=36/5，x=9/5，y=12/5或y=-12/5（舍去），PA²+PB²最小时点P的坐标（9/5，12/5）。
（2）连接原点O与圆心O1，连线交圆于一点P，OP为△ABP在AB边的中线，当点P在圆上移动到P‘时，OP'+r>OO1=OP+r,OP'>OP，P’A²+P‘B²=1+OP'²+2OP'cos∠AOP'+1+OP'²+2OP'cos∠BOP'，∠AOP'+∠BOP'=π，cos∠AOP'=-cos∠BOP'，PA’²+PB‘²=2+2OP'²>2+2OP²=PA²+PB²，当点P在OO1连线上时PA²+PB²有最小值，OO1直线方程为：y=4x/3，代入(x-3)²+(y-4)²=4，x-3=±6/5，x<3取x=9/5，y=12/5，PA²+PB²最小时点P的坐标（9/5，12/5）。