Question

已知方程 F[x(y,z),y(x,z),z(x,y)]=0, 且函数偏导数存在 ,证明 dz/dx*dx/dy*dy/dz=-1

Answer 1

先求z对x的偏导数,z为函数,x,y为自变量
等式两边对x求偏导：(以下的F后面的数字1、2、3均为下标,d为偏导数符号)
F1'+F3'*dz/dx=0,解得：dz/dx=-F1'/F3' （1）
求x对y的偏导数,x为函数,y,z为自变量
F1'*dx/dy+F2'=0,解得：dx/dy=-F2'/F1' （2）
求y对z的偏导数,y为函数,x,z为自变量
F2'*dy/dz+F3'=0,解得：dy/dz=-F3'/F2' （3）
（1）（2）（3）三式相乘得：
dz/dx*dx/dy*dy/dz=-1
本题说明一个结果：偏导数符号dy/dx中,并不是一个除法关系,(dz/dx)*(dx/dy)*(dy/dz)不能够象导数一样直接约分.