Question

已知三角形的内角A,B,C所对边a,b,c满足b^2+c^2-a^2=bc

设函数f(x)=根号3sin(x/2)cos(x/2)+cos^2(x/2)。求f(B)的最值。

Answer 1

已知三角形的内角A,B,C所对边a,b,c满足b²+c²-a²=bc由余弦定理得b²+c²-a²=2bccosA
∴bc=2bccosA
∴cosA=1/2
∴A=π/3
已知函数f(x)=根号3sin(x/2)cos(x/2)+cos²(x/2)，把x=B代入后化简得
f(B)=根号3/2sinB+1/2cosB+1/2=1/2+sin（B+π/6）
由三角形的内角A、B、C的关系有B+C=π-π/3=2/3π，
0＜B＜2/3π
π/6＜B+π/6＜5/6π
sin（B+π/6）在（B+π/6）∈（π/6，π/2）内单调递增，在（B+π/6）∈（π/2，π5/6）内单调递减。在（B+π/6）=π/2，即当B=π/3时，sin（B+π/6）有最大值1，f（B）的最大值=1/2+1=3/2
sinπ/6=sinπ5/6=1/2，f（B）＞1/2+1/2=1，得f（B）的取值范围为（1，3/2]，f（B）有最大值3/2，无最小值。

Answer 2

根据余弦定理 b^2+c^2-a^2=2bccosA
bc=2bccosA
cosA=1/2
A=π/3
C=π-π/3-B=2/3π-B>0
0<B<2/3π
f(x)=根号3sin(x/2)cos(x/2)+cos^2(x/2)
=根号3/2sinx+1/2cosx+1/2
= 1/2+sin（B+π/6）
当x= π/3 时 ，即当B=π/3 时， f（B）=1/2+1=3/2