Question

积分和微分中值定理，看一下这个题有没有出错？

Answer 1

这个题没问题，不过我没用中值定理就能做，设g(x)为f(t)的变上限积分（下限为0，上限为x）的平方的一半，则g(0)=0,g(1)=1/2,此时只需证存在ξ∈(0,1)使得g'(ξ)=ξ。若不然，因为g'(x)和x都连续，所以必须有在（0,1）上总是g'(x)>x或者g'(x)<x（不然两种情况都有，由介值定理他们之间存在相等的情况），不妨设为前者。则1/2=g(1)-g(0)=（g'(x)从0积分到1）>(x从0积分到1)=1/2,矛盾！证明完毕。