Question

线性代数中秩的问题

（1）ABx=0，（2）Bx=0；我们知道方程组（2）中的解一定是（1）的解……所以，（2）中解向量的秩一定小于或等于（1）的解向量的秩……这是为是为什么呢？全书中有关秩的证明题型的例题里出现的……一直没想明白……求高人指点Orz

Answer 1

解：
(1) 解向量的秩定义：满足线性方程组的最大线性无关向量组的向量个数。即：使方程成立的解向量可能不是一个，满足方程组的线性无关的解，构成一个线性无关向量组，如果满足方程的所有解，都可以用这个线性无关向量组中向量的线性组合来表示，则该向量组称为最大线性无关向量组，其所包含的线性无关向量个数就是解向量的秩。
(2) 问题的理解：满足Bx=0的解，一定满足 ABx=0；也就是凡是用Bx =0 的最大线性无关组表示的向量，都可以用ABx = 0 的最大线性无关组表示；反之ABx = 0 的最大线性无关组表示的向量不应能用Bx =0 的最大线性无关组表示，这说明Bx=0 解集中线性无关向量的个数不会多于ABx=0解集中的线性无关向量个数。
或者换一种说法Bx =0的解集是ABx=0的解集的子集，一个解集的秩不会小于其子集的秩。

Answer 2

因为方程组（2）中的解一定是（1）的解
所以方程组（2）中的解一定可以用（1）的解线性表示出来
可以举个例子设（1）的基础解系=（a1,a2,a3) （2）=(b1,b2,b3)
也即（1）x=（2）有非零解故
R（1）=R[(1),(2)]>=R(2)
故（1）的基础解系的秩一定大于等于（2）的解向量的秩