Question

如图AD,BE,CF是△ABC的三条中线，它们交于G，求证：

（1）DO=1/3AD,EO=1/3BE,FO=1/3CF
(2)以AD,BE,CF为边围成的三角形的面积是△ABC的面积的3/4

Answer 1

（1）连接EF,EF中位线
∴EF∥BC
∴⊿EFO∽⊿BCO
∴EO／OB=FO/OC=EF／BC=1/2
EO=1/3BE,FO=1/3CF
同理：DO=1/3AD
（2）延长OD至M使得OD=MD,连结BM
∵BD=DC,OD=MD,∠ODC=∠BDM
∴⊿BDM≌⊿COD
∴BM=CO
∴BM/CF=OM/AD=BO/BE=2/3
∴⊿BOM与以AD,BE,CF为边围成的三角形相似
且面积之比为4∶9
∵S⊿BOM=S⊿BOC=1/3S⊿ABC
∴以AD,BE,CF为边围成的三角形的面积∶S⊿ABC=1/3∶4/9=3/4
∴以AD,BE,CF为边围成的三角形的面积是△ABC的面积的3/4