若a+2b+3c=12，且a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca，则a+b 2 +c 3 =______．
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∵a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca，
∴2（a 2 +b 2 +c 2 ）=2（ab+bc+ca），
即2（a 2 +b 2 +c 2 ）-2（ab+bc+ca）=0，
整理，得（a 2 -2ab+b 2 ）+（a 2 -2ca+c 2 ）+（b 2 -2bc+c 2 ）=0，
即：（a-b） 2 +（a-c） 2 +（b-c） 2 =0，
∴a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2．
∴a+b 2 +c 3 =2+4+8=14．
∴2（a 2 +b 2 +c 2 ）=2（ab+bc+ca），
即2（a 2 +b 2 +c 2 ）-2（ab+bc+ca）=0，
整理，得（a 2 -2ab+b 2 ）+（a 2 -2ca+c 2 ）+（b 2 -2bc+c 2 ）=0，
即：（a-b） 2 +（a-c） 2 +（b-c） 2 =0，
∴a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2．
∴a+b 2 +c 3 =2+4+8=14．
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