Question

证明线面垂直的方法

Answer 1

证明线面垂直的方法：

1、线面垂直的判定定理

直线与平面内的两相交直线垂直。

2、面面垂直的性质

若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。

3、线面垂直的性质

两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直。

4、面面平行的性质

一线垂直于二平行平面之一，则必垂直于另一平面。

5、定义法

直线与平面内任一直线垂直。

线面垂直证法

由性质定理2可知，过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。

点在平面外：

设点P是平面α外的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法：

①在α内任意作一条直线l，并过P作PA⊥l，垂足为A。

此时，若PA⊥α，则所需PQ已作出。

②在α内过A作m⊥l。

③过P作PQ⊥m，垂足为Q，则PQ是所求直线。

证明：

由作法可知，l⊥PA，l⊥QA。

∵PA∩QA=A。

∴l⊥平面PQA。

∴PQ⊥l。

又∵PQ⊥m，且m∩l=A，m⊂α，l⊂α。

∴PQ⊥α。

点在平面内：

设点P是平面α内的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。

作法：

①过平面外一点A作AB⊥α，作法见上。

②过P作PQ∥AB，PQ是所求直线。

证明：

由性质定理3可知，若作出了AB⊥α，PQ∥AB，那么PQ⊥α。