Question

秩为一的矩阵的特征值是什么？

Answer 1

秩为1的矩阵，1个非零特征值是矩阵的迹， 即对角元元素之和， 其它特征值均为0。

对于秩为1的n阶矩阵，零是其n重或n-1重特征值，如果是n-1重，则非零特征值是矩阵的主对角线元素之和。

另外还看到，秩为1的矩阵可以分解为一个非零列向量与另一个非零列向量的转置的乘积，这两个向量的内积即是非零特征值，秩为1的矩阵对应的齐次线性方程组的基础解系含n-1个解向量。

定义：

由定义直接可得n阶可逆矩阵的，秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵， det(A)70，不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。