Question

请问这道高数证明题怎么做?

不知道怎么对这个结论找辅助函数，请求大佬帮助。

Answer 1

可以根据导数的连续性证明。
f（x）在[0,1]上连续，在（0，1）上可导。f（0）=0，f（1）=2，求证，存在两个不同的值η，μ∈（0，1），使得3/f'(η)+1/f'(μ)=2
根据中值定理，存在ξ∈（0，1），f'岁逗(ξ)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=2
取f'(η)=f'(μ)=f'(ξ)=2，3/f'(η)+1/f'(μ)=2成立。
第一种竖雀李情况，处处f'(x)相同，f（ξ）=2ξ（与端点边线余迟重合），f'(x)=2，任取两点，都满足。
第二种情况，f'(x)不是处处相同，存在f（ξ）≠2ξ，在ξ邻域，则必存在，必有一段0<f'(x)<2,也必有一段f'(x)>2,两段分别取两点，3/f'(η)+1/f'(μ)<2,3/f'(η)+1/f'(μ)>2成立。
根据连续性，存在，3/f'(η)+1/f'(μ)=2

Answer 2

拍的不清楚啊,看不清题目,需要重拍一下