Question

一个奇数的平方减另一个奇数的平方等于8乘另一个数?

有什么规律？

Answer 1

设两个奇数分别为2m+1和2n+1，
其中m，n分别为自然数。
(2m+1)²-(2n+1)²
=4m²+4m+1-4n²-4n-1
=4(m²+m)-4(n²+n)
=4m(m+1)-4n(n+1)
=4[m(m+1)-n(n+1)]。
因为m，n是自然数，所以，m(m+1)以及n(n+1)肯定是偶数。那么，
4[m(m+1)-n(n+1)]肯定是8的倍数。
证毕。

Answer 2

设一个奇数为2m+1，另一个奇数为2n+1，m、n均为自然数，则有:
(2m+1)²-(2n+1)²=(2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1)
=4(m+n+1)(m-n)
由于m、n均为自然数，当两个数均为偶数或奇数时，m-n为偶数；当两个数分别为奇数和偶数时，m+n+1为偶数。所以4(m+n+1)(m-n)必定是等于8乘以另一个数的积。

Answer 3

(2n + 1)² - (2m + 1)² = 4(m + n + 1)(m - n)
m + n 与 m - n 同奇同偶，m + n + 1 与 m - n 必有一个是偶数，
(m + n + 1)(m - n) 是偶数，所以：
(2n + 1)² - (2m + 1)² = 4(m + n + 1)(m - n) 是 8 的倍数。