Question

半径为5的球内有内接四面体A-BCD,AB=6.CD=8,求此四面体体积的最大值.

Answer 1

要求内接于半径为5的球的四面体 ABCD 的最大体积，已知 AB = 6 且 CD = 8。
首先，我们需要找到四面体的高。在内接四面体中，高可以通过连接底面三角形的外心和对立面上顶点的直线来获得。在这种情况下，连接四面体底面三角形 ABC 的外心 O 和顶点 D 的直线就是所需的高。
由于 ABCD 是内接四面体，它的外接球心与底面三角形的外接圆心相同。所以，我们可以考虑底面三角形 ABC 的外接圆来找到高。
根据三角形 ABC 的外接圆性质，外接圆的半径 R 可以通过以下公式计算：
R = (AB × BC × CA) / (4 × 三角形 ABC 的面积)
由于 AB = 6，BC = CA = 5（半径为5的球的半径），我们可以计算出外接圆的半径 R。
R = (6 × 5 × 5) / (4 × 三角形 ABC 的面积)
接下来，我们需要计算底面三角形 ABC 的面积。可以使用海伦公式来计算三角形的面积：
面积 = √[s × (s - AB) × (s - BC) × (s - CA)]
其中，s 是半周长，即 (AB + BC + CA) / 2。
将 AB = BC = CA = 5 代入上式，可以计算出三角形 ABC 的面积。
计算完三角形 ABC 的面积后，我们可以将 R 和面积代入之前的公式计算高 h：
h = R - 5
有了高 h 后，我们可以计算四面体 ABCD 的体积 V：
V = (1/3) × 底面三角形 ABC 的面积 × h
通过对底面三角形 ABC 的面积和高 h 进行计算，我们可以确定体积 V 的最大值。请注意，由于这个计算涉及一些复杂的数值计算，为了得到精确结果，最好使用计算器或计算软件来执行实际计算。

Answer 2

当AB与CD距离d为最大值,且AB⊥CD时,四面体ABCD的体积=6*8*d*sinθ/6最大；
球心O到AB距离OG=4,球心O到CD距离OH=3
d最大=4+3=7,sinθ最大=1,四面体ABCD的体积最大=6*8*d*sinθ/6=56
【【不清楚,再问；满意,祝你好运开☆!】】