Question

一些关于一元二次方程的题目，请大师们解答。

第一题右上角的数字符号依次是：2；2
第二题右上角的数字符号依次是：无
第三题右上角的数字符号依次是：2；2
第四题右上角的数字符号依次是：2；2
第五题右上角的数字符号依次是：n-2

1. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0，b≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求2a²+2ac／5ab的值。

2. 要在一块长16M,宽12M的矩形荒地上建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半。小明的设计方案如图一所示，其中花园四周小路的宽度都相等，他设小路的宽为x m,请你帮小明设出方程，并把方程化为一般形式。

3. 关于x的方程ax²+bx =3x ²-1 一定是一元二次方程吗？当它是时，写出一个符合条件的 a 值。

4. 如果方程①ax²-bx-6=0与方程②ax²+2bx-15=0 有一个公共解是3，求a,b 的值。

5. 已知3是关于x的一元二次方程(√m-2+√2-m+4)xⁿ-²+（b+5）x-6=0的一个解，试求2m+n-3b的值。

Answer 1

1. 如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0，b≠0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求2a²+2ac／5ab的值。
解：已知 a+c=b
所以(2a²+2ac)／5ab=2a(a+c)/5ab=2/5

2. 要在一块长16M,宽12M的矩形荒地上建造一个花园，并使花园所占的面积为荒地面积的一半。小明的设计方案如图一所示，其中花园四周小路的宽度都相等，他设小路的宽为x m,请你帮小明设出方程，并把方程化为一般形式。
解：2*12X+2*(16-2X)X=12*16/2
24X+32X-4X^2=96
X^2-14X+24=0
X1=2,
X2=12(舍去)
路宽2米

3. 关于x的方程ax²+bx =3x ²-1 一定是一元二次方程吗？当它是时，写出一个符合条件的 a 值。
当a≠3时，上述方程是一元二次方程，如当a=0时方程变为3x ²-bx-1=0

4. 如果方程①ax²-bx-6=0与方程②ax²+2bx-15=0 有一个公共解是3，求a,b 的值。
将x=3代入两方程得：9a-3b-6=0和9a+6b-15=0
解得：a=1,b=1

5. 已知3是关于x的一元二次方程(√m-2+√2-m+4)xⁿ-²+（b+5）x-6=0的一个解，试求2m+n-3b的值。
首先方程为一元二次方程，则必然有n-2=2,解得n=4
√m-2和√2-m均存在，则必然有m-2=0,所以m=2
因此方程变形为：4X^2+(b+5)X-6=0
将X=3代入，解得b=-15
所以 2m+n-3b=2*2+4-3*(-15)=53

Answer 2

解：（1）依题意，得a+c=b,∴2a²+2ac／5ab=2a(a+c)/5ab=2ab/5ab=2/5
(2)依题意得(16-2x)(12-2x)=（12×16）/2即 x²-14x+24=0 解得x1=2,x2=12（舍去）
（3）ax²+bx =3x ²-1 化简可得 （a-3)x²+bx+1=0 当a-3≠0，即x≠3时，ax²+bx =3x ²-1 一定是一元二次方程。例如：a=4.
（4）依题意，得a×3²-b×3-6=0 ①
a×3²+2b×3-15=0 ②
解得 a=1 b=1
∴a的值为1，b的值为1.
（5）依题意得n-2=2 , m-2≥0,2-m≥0即n=4,m=2
又∵3是关于(√m-2+√2-m+4)xⁿ-²+（b+5）x-6=0的一个解
∴ 4×3²+（b+5)×3-6=0 解得 b=-15
∴ 2m+n-3b=2×2+4-3×（-15）=53.