Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称。 1.证明f(x)是周期函数。

2.若f（x）=x（0＜x＜=1））求x∈R时函数f(x)的解析式。

Answer 1

分析：（1））根据f（-x）=-f（x），再由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-x）=f（2+x），可得f（2+x）=-f（x），从而得到 f（4+x）=f（x），从而结论成立．
（2）由条件求出当-1≤x≤1时f（x）=x，当1＜x＜3时，则-1＜2-x＜1，可得f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．
从而得到f（x）在一个周期内的解析式，从而得到f（x）在定义域内的解析式，从而画出函数的图象．
解答：（1）证明：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（-x）=f（2+x），即f（2+x）=-f（x）．
所以f（4+x）=-f（2+x）=f（x），即f（x）是以4为一个周期的周期函数．
（2）解：设-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，所以f（-x）=-x． 又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，
所以，当-1≤x≤1时，f（x）=x．
当1＜x＜3时，-3＜-x＜-1，则-1＜2-x＜1． 所以f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x． 所以f（x）=

x，-1≤x≤1
2-x，1＜x＜3

．
再由f（x）是以4为一个周期的周期函数，从而有f（x）=

x-4k，4k-1≤x≤4k+1
4k+2-x，4k+1＜x＜4k+3

，（k∈Z）．

Answer 2

解：f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x+2)
则f(x)=-f(x+2)=f(x+4)
故函数是周期为4的函数
第二问自己利用奇函数的性质和周期性解即可！自己做下吧！

Answer 3

(1)因为已知f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x)
因为它的图像关于直线x=1对称,所以f(-x)=f(x+2)
所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x) 所以得到T=4
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0
依图易得 -1=＜x＜=1,y=x,
1=<x<=3,y=-x+2, 综上， -1+4k=＜x＜=1+4k,y=x,
1+4k=<x<=3+4k,y=-x+2, k为整数

Answer 4

（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）．
又函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（-x）=-f（x）．故f（x+2）=-f（x）．
从而f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．即f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数
x∈(0,1],f(x)=x
x∈(-1,0],-x∈(0,1],f(-x)=-x=-f(x),得f(x)=x
x∈(-2,-1],x+2∈(0,1],f(x+2)=x+2=-f(x),得f(x)=-x-2
x∈(1,2],x-2∈(-1,0],f(x-2)=x-2=f(x-2+4)=f(x+2)=-f(x),得f(x)=-x+2

k∈z
x∈(4k-2,4k-1]时f(x)=-(x-4k)-2=-x-2+4k
x∈(4k-1,4k+1]时f(x)=x-4k
x∈(4k+1,4k+2]时f(x)=-(x-4k)+2=-x+2+4k

Answer 5

f(x)是以4为周期的周期函数

追问

可以给出详细解答吗还有第二问